Question

設f（x）=（x²+ax+a）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）確定a的值，使f（x）的極小值為0；
（ II）證明：當且僅當a=3時，f（x）的極大值為3．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導，整理可得f′（x）=e^-x[x²+（a-2）x]
（Ⅰ）令f′（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分別討論2-a 與0的大小，從而判斷函數的單調性，進一步求出函數的極小值，從而求a的值
（ II）結合（Ⅰ）中函數單調性的兩種情況的討論，利用反證法分別假設a＞2，a＜2兩種情況證明，產生矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由于f（x）=（x²+ax+a）e^-x，所以f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]．…（2分）
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
當a=2時，f'（x）≤0恒成立，此時f（x）無極值．
所以2-a≠0．
①當2-a＞0，即a＜2時，f'（x）和f（x）2的變化情況如下表1：

x	（-∞，0）		（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時應有f（0）=0，所以a=0＜2；
②當2-a＜0，即a＞2時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表2：

x	（-∞，2-a）	2-a	（2-a，0）		（0，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時應有f（2-a）=0，即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，所以應有（2-a）²+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
綜上可知，當a=0或4時，f（x）的極小值為0．…（6分）
（ II）若a＜2，則由表1可知，應有f（2-a）=3，也就是[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=3，即（4-a）e^a-2=3．
設g（a）=（4-a）e^a-2，則g'（a）=-e^a-2+（4-a）e^a-2=e^a-2（3-a）．
由于a＜2得 g'（a）＞0，從而有g（a）＜g（2）=2＜3．
所以方程  （4-a）e^a-2=3無解．…（8分）
若a＞2，則由表2可知，應有f（0）=3，即a=3．…（10分）
綜上可知，當且僅當a=3時，f（x）的極大值為3．…（12分）
點評：本題的考點是利用導數研究函數的極值，考查用導數的方法研究函數的單調性、極值．解題中滲透了分類討論、數形結合、方程與函數的思想及轉化的思想．