Question

設f（x）是（x²+

1

2x

）⁶展開式的中間項，若f（x）≤mx在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，則實數m的取值范圍是

[5，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可得 f（x）=

5

2

•x³，再由由f（x）≤mx在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，求得

5

2

x²在區間[

2

2

，

2

]上的最大值，可得m的范圍．

解答：解：由題意可得 f（x）=

C

3 6

•x⁶•(

1

2x

)3=

5

2

•x³．
由f（x）≤mx在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，可得m≥

5

2

x² 在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，
由于

5

2

x²在區間[

2

2

，

2

]上的最大值為 5，故m≥5，
即m的范圍為[5，+∞），
故答案為[5，+∞）．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，函數的恒成立問題，屬于中檔題．