Question

設f（x）是定義在R上的函數，且對任意實數x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）-5x+1在[m，m+1]上的最小值為-2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法即可求函數f（x）的解析式；
（2）將二次函數進行配方，然后根據二次函數的最值，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）令1-x=t，則x=t-1，
得f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3，
化簡得f（t）=t²+t+1，
即f（x）=x²+x+1，x∈R．
（2）∵g（x）=f（x）-5x+1
∴g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2（m≤x≤m+1），
∵m≤x≤m+1，g（x）_min=-2，
∴m≤2≤m+1，
∴1≤m≤2．

點評：本題主要考查利用換元法求函數的解析式，以及二次函數的圖象和性質．