Question

三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，則成等差數(shù)列．求這三個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：設(shè)三個(gè)數(shù)依次為a，b，c，依題意可知abc的值，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知abc=b³，進(jìn)而求得b，設(shè)三個(gè)數(shù)的公比為t，則可表示a和c，根據(jù)第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，變成等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式求得t，則三個(gè)數(shù)可求得．

解答：解：設(shè)三個(gè)數(shù)依次為a，b，c，依題意可知abc=512
∵三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴b³=512，b=8
設(shè)三個(gè)數(shù)的公比為t，則a=

8

t

，c=8t
第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，后數(shù)列變?yōu)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

8

t

-2，8，8t-2
∵新數(shù)列成等差數(shù)列
∴16=8t-2+

8

t

-2，整理得2t²-5t+2=0
求得t=2或

1

2

當(dāng)t=2時(shí)，a=4，c=16，三個(gè)數(shù)為4，8，16
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，a=16，c=4，三個(gè)數(shù)為16，8，4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．