Question

1．已知F是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點，A，B為橢圓C的左、右頂點，點P在橢圓C上，且PF⊥x軸，過點A的直線與線段PF交與點M，與y軸交與點E，直線BM與y軸交于點N，若NE=2ON，則橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得F，A，B的坐標，設出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=-c，x=0，可得M，E的坐標，再由直線BM與y軸交于點N，NE=2ON，可得N的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，結合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：由題意可設F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入橢圓方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得P（-c，±$\frac{^{2}}{a}$），
設直線AE的方程為y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
∵直線BM與y軸交于點N，NE=2ON，
∴N（0，$\frac{ka}{3}$），
由B，N，M三點共線，可得k_BN=k_BM，
即為$\frac{\frac{ka}{3}}{-a}$=$\frac{k（a-c）}{-c-a}$，
化簡可得$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，即為a=2c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質，以及直線方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．