Question

已知函數(shù)，.

（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（2）當時，若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設，在（1）的條件下，證明當時，對任意兩個不相等的正數(shù)、，有.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求導，利用題中條件得到，從而求出實數(shù)的值；（2）解法一是構造新函數(shù)，問題轉化為來處理，求出導數(shù)的根，對與區(qū)間的相對位置進行分類討論，以確定函數(shù)的單調性與最值，從而解決題中的問題；解法二是利用參數(shù)分離法將問題轉化為，從而將問題轉化為來處理，而將視為點與點連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應問題；（3）證法一是利用基本不等式證明和，再將三個同向不等式相加即可得到問題的證明；證法二是利用作差法結合基本不等式得到進而得到問題的證明.

試題解析：（1），由曲線在點處的切線平行于軸得

，；

（2）解法一：當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，有，------6分

當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，

對，恒成立，只需，即；

當時，函數(shù)在上遞減，對，恒成立，只需，

而，不合題意，

綜上得對，恒成立，；

解法二：由且可得，

由于表示兩點、的連線斜率，

由圖象可知在單調遞減，

故當，，

，即；

（3）證法一：由，

得

，

，

由得，①

又，

，②

，，

，，③

由①、②、③得

；

即；

證法二：由

、是兩個不相等的正數(shù)，

，，

，又，，

，即

考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.參數(shù)分離法；3.不等式的證明；4.基本不等式