Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調增區間；

（2）函數，當時，恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間是；單調減區間是（2）2

【解析】

（1）利用的導函數求得的單調增區間.

（2）解法一：將不等式分離常數，得到，構造函數，利用導數求得的最大值，由此求得的取值范圍，進而求得的最小值.

解法二：將不等式分離常數，得到，構造函數，對分成、兩種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）因為，

由于時，由得，

所以函數的單調增區間是；單調減區間是；

（2）解法一：因為，即，因為，

所以，令，

所以，

設，

則，

所以且時，，

故在上是增函數，

因為，

當時，

.

所以存在使，

所以當時，即，

當時，即，

所以在上增函數，上是減函數，

故有最大值為

，

因為，，所以，

故，即整數的最小值為2.

解法二：因為，即，因為，

所以，令，

（i）當時，因為，所以，

因此，所以只需；

（ii）當時，因為，則，

所以，

因此只需，即，

構造函數，

，

當時，在上單調遞減，；

當時，，

則，不滿足題意；

當時，，

則，故不滿足題意；

綜上可知，整數的最小值為2.