Question

我們把滿足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

的函數(shù)叫做高青函數(shù)．在給定的下列函數(shù)中：
①f（x）=x；②f（x）=x+

2

x

（x＞0）；③f（x）=x²；④f（x）=2^x；⑤f(x)=(

1

3

)x；⑥f（x）=log₂x；⑦f(x)=log

1

3

x，請解答下面兩個問題：
（1）上述7個函數(shù)中有幾個是高青函數(shù)？
（2）針對指數(shù)函數(shù)中的某個高青函數(shù)，證明其滿足上述不等式．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：（1）由函數(shù)滿足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

時，函數(shù)圖象一條直線或是下凹的曲線，逐一分析7個函數(shù)的圖象，可得答案；
（2）根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知指數(shù)函數(shù)為高青函數(shù)，進而可證明不等式成立．

解答： 解：（1）由函數(shù)滿足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

時，函數(shù)圖象一條直線或是下凹的曲線，
∴①f（x）=x是高青函數(shù)；
②f（x）=x+

2

x

（x＞0）是高青函數(shù)；
③f（x）=x²是高青函數(shù)；
④f（x）=2^x是高青函數(shù)；
⑤f(x)=(

1

3

)x是高青函數(shù)；
⑥f（x）=log₂x不是高青函數(shù)；
⑦f(x)=log

1

3

x是高青函數(shù)，
故上述7個函數(shù)中有6個是高青函數(shù)；
（2）若f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），則f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．
證明：

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

ax1+ax2

2

-a

x1+x2

2

=

ax1+ax2-2 ax1ax2

2

=

( ax1 - ax2 )2

2

≥0．
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．（注：此性質(zhì)為函數(shù)的凹凸性）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的凸凹性，基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．