Question

已知函數f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

，則函數f（x）在其定義域內的零點個數是（　　）

• A、0
• B、l
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：求導f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰⁰⁰，可確定導數大于0，從而確定零點的個數．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰⁰⁰，
=（1-x）（1+x²+…+x¹⁹⁹⁸）+x²⁰⁰⁰，
若x=0，則f′（0）=1，
若x=1，則f′（1）=1；
若x=-1，則f′（-1）=2001；
若x≠0且x≠±1，則
（1-x）（1+x²+…+x¹⁹⁹⁸）+x²⁰⁰⁰，
=（1-x）

1-x2000

1-x2

+x²⁰⁰⁰，
=

1-x2000+x2000+x2001

1+x

=

1+x2001

1+x

＞0，
故f（x）=1+x-

x 2

2

+

x 3

3

-

x 4

4

+…+

x 2001

2001

在R上是增函數，
又∵當x→-∞時，f（x）＜0，當x→+∞時，f（x）＞0；
故選B．

點評：本題考查了的零點的個數的判斷，屬于基礎題．