Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

an

an+1

，記數列{b_n}的前n和為T_n，證明：-

1

3

＜Tn-

n

2

＜0．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）由題意S_n=2a_n-n，①，S_n+1=2a_n+1-n-1，②，相減得到a_n+1=2a_n+1，繼而得到數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，問題得以解決；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

2n-1

2n+1-1

，轉化為b_n-

1

2

=

-1

2n+2-2

，表示出T_n-

n

2

=-（

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

），根據放縮法得以證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，①，
∴S_n+1=2a_n+1-n-1，②，
②-①得a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
（Ⅱ）∵b_n=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

，
∴b_n-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

，
∴T_n-

n

2

=-（

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

）＜0，
∴T_n-

n

2

＜0，
∴

1

2n+2-2

=

1

2n-2+3•2n

≤

1

3×2n

，
∴T_n-

n

2

＞-

1

3

（

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

）=-

1

3

+

1

3×2n

＞-

1

3

，
∴-

1

3

＜Tn-

n

2

＜0．

點評：本題考查學生會根據已知條件推出數列的通項公式，靈活運用數列的遞推式得到數列的前n項的和，以及放縮法證明不等式成立，培養了學生的轉化能力和計算能力，屬于中檔題