Question

若不等式4^x-a•2^x+1+3＞0對任意的x∈R均成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，

3

）

．

Answer 1

分析：令t=2^x＞0，可得 t²-2at+3＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＜

t

2

+

3

2t

，故a應小于

t

2

+

3

2t

的最小值．利用利用基本不等式可得

t

2

+

3

2t

 的最小值，可得實數a的取值范圍．

解答：解：令t=2^x＞0，可得 t²-2at+3＞0在（0，+∞）上恒成立，
即 a＜

t2+3

2t

=

t

2

+

3

2t

，故a應小于

t

2

+

3

2t

的最小值．
利用基本不等式可得

t

2

+

3

2t

≥2

3 4

=

3

，當且僅當

t

2

=

3

2t

，即t=

3

時，等號成立，
故a＜

3

，即實數a的取值范圍是（-∞，

3

），
故答案為 （-∞，

3

）．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，函數的恒成立問題，基本不等式的應用，體現了轉化的數學思想，
屬于中檔題．