Question

若不等式4^x-a2^x+1+a²-1≥0在[1，2]上恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，1]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：設2^x=t，用換元法把4^x-a2^x+1+a²-1≥0化成t²-2at+a²-1≥0，轉化為求二次函數的恒成立問題，即可求出答案．

解答：解：設2^x=t，∵1≤x≤2，則2≤t≤4，
原式可化為：t²-2at+a²-1≥0，令f（t）=t²-2at+a²-1=（t-a）²-1，
①當a≤2時，y在[2，4]上為增函數，
故當t=2時，y取最小值f（2），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（2）≥0即可，
∴a≤1，
②當a≥4時，y在[2，4]上為減函數，
故當t=4時，y取最小值f（4），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（4）≥0即可，
∴a≥5，
③當2＜a＜4時，y在[2，a]上為減函數，在[a，4]上為增函數
故當t=a時，y取最小值f（a），
要使t²-2at+a²-1≥0在[2，4]上恒成立，只需y的最小值f（a）≥0即可，
∴a∈∅，
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，1]∪[5，+∞）
故答案為：（-∞，1]∪[5，+∞）．

點評：本題考查了函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，難度一般，關鍵是掌握換元法的應用．