Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為a，∠D＝60°，點H為DC邊中點，現以線段AH為折痕將△DAH折起使得點D到達點P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，點E，F分別為AB，AP的中點.

（1）求證：平面PBC∥平面EFH；

（2）若三棱錐P﹣EFH的體積等于，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a＝2

【解析】

（1）分別證明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可證明結論；

（2）根據條件求出AH，DH＝PH＝CH，然后證明PH⊥平面ABCH，又點F為AP的中點，則S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，則，據此計算求解即可.

（1）證明：菱形ABCD中，∵E，H分別為AB，CD的中點，∴BE∥CH，BE＝CH，

∴四邊形BCHE為平行四邊形，則BC∥EH，又EH平面PBC，∴EH∥平面PBC，

又點E，F分別為AB，AP的中點，則EF∥BP，又EF平面PBC，∴EF∥平面PBC，

由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；

（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，則△ACD為正三角形，

∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，

折疊后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，從而PH⊥平面ABCH．

在△PAE中，點F為AP的中點，則S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，

而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，

∴

，

∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．