Question

【題目】已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，最后根據(jù)區(qū)間導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，

（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理分類討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得結(jié)果

解（1）

（ⅰ）時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（ⅱ）時(shí)

若，則，所以f(x)在單調(diào)遞增；

若，則，故當(dāng)時(shí)，， ，；所以f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若，則，故當(dāng)，， ，；所以f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上：時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增；

時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）（ⅰ）當(dāng)a>0,則由（1）知f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

又，，取b滿足，且，

則，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

（ⅱ）當(dāng)a=0,則，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)

（ⅲ）當(dāng)a<0,若,則由（1）知，f(x)在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)

，則由（1）知，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又當(dāng)，f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)

綜上，a的取值范圍為.