【題目】已知函數
，
.
（Ⅰ）若
，求實數
取值的集合；
（Ⅱ）當
時，對任意
，
，令
，證明
.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（I）f′（x）
．（x＞0）．對a分類討論即可得出單調性極值與最值．進而得出a的取值集合;（II）當a＝0時，f（x）＝lnx，則
，由（I）可知：lnx
1≥0，（x＞0）．根據0＜x1＜x2，可得
1，ln1
，即可證明
．由（I）可知：lnx＜x﹣1，（x＞1）．同理可證明：
．
（Ⅰ）由已知，有
.
當
時，
，與條件
矛盾；
當
時，若
，則
，
單調遞減；
若
，則
，單調遞增.
∴在
上有最小值
.
由題意，∴
.
令
.∴
.
當
時，
，
單調遞增；當
時，
，單調遞減.
∴在上有最大值
.∴
.
∴
.
∴
，∴
，
綜上，當時，實數
取值的集合為.
（Ⅱ）當
時，
，則
.
由（Ⅰ），可知
.
∴
（當且僅當
時取等號）. ①
∵
，∴
.∴
，∴
由①式可得當
時，有
.
∵，∴
.
∴
.
綜上所述，有
，∴
.
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線C和橢圓
1有公共的焦點，且離心率為
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）經過點M（2，1）作直線l交雙曲線C于A、B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C：
=2px經過點
（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設O為原點，
，
，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是( )
A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1不共面
C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網絡平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數據，并將這100個數據按學時數，客戶性別等進行統計，整理得到如表：
學時數 |
|
|
|
|
|
|
|
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根據上表估計男性客戶購買該課程學時數的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留小數點后兩位）；
（2）從這100位客戶中，對購買該課程學時數在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數都不低于15的概率．
（3）將購買該課程達到25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據已知條件完成以下
列聯表，并判斷是否有99．9%的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關？
非十分愛好該課程者 | 十分愛好該課程者 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小區打算將如圖的一直三角形
區域進行改建,在三邊上各選一點連成等邊三角形
,在其內建造文化景觀.已知
,
,則
區域內面積(單位：
)的最小值為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列四個命題
①已知
為橢圓
上任意一點，
，
是橢圓的兩個焦點，則
的周長是8；
②已知
是雙曲線
上任意一點，
是雙曲線的右焦點，則
；
③已知直線
過拋物線
的焦點，且與
交于
，
，
，
兩點，則
；
④橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點，是它的焦點，長軸長為
，焦距為
，若靜放在點的小球（小球的半徑忽略不計）從點沿直線出發則經橢圓壁反射后第一次回到點時，小球經過的路程恰好是
．
其中正確命題的序號為__（請將所有正確命題的序號都填上）
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