Question

已知函數f（x）=2cos（2x+

2π

3

）+

3

sin2x
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）設△ABC的三內角分別是A、B、C．若f（

C

2

）=-

1

2

，且AC=1，BC=3，求sinA的值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由兩角和的余弦公式化簡解析式可得f（x）=-cos2x，從而可求最小正周期和最大值；
（2）由已知先求得cosC的值，即可求sinC的值，由余弦定理可得：AB的值，從而由正弦定理得sinA的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2x+

2π

3

）+

3

sin2x=-cos2x-

3

sin2x+

3

sin2x=-cos2x
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，函數f（x）的最大值是1；
（2）∵f（x）=-cos2x，
∴f（

C

2

）=-cosC=-

1

2

，可得：cosC=

1

2

．
∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

∴由余弦定理可得：AB²=BC²+AC²-2×AC×BC×cosC=9+1-2×1×3×

1

2

=7，既得AB=

7

∴由正弦定理：

BC

sinA

=

AB

sinC

可得：sinA=

BC•sinC

AB

=

3× 3 2

7

=

3 21

14

．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的綜合應用，綜合性較強，屬于中檔題．