Question

已知AB、CD為異面線段，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，過(guò)E、F作   平面α∥AB．
（1）求證：CD∥α；
（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB與CD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD交α于G，連接GF，由線面平行的性質(zhì)定理，可得AB∥GF，進(jìn)而由線面平行的判定定理可證得CD∥α；
（2）根據(jù)平行角定理，結(jié)合（1）中結(jié)論可得∠EGF與AB，CD所成的角相等或互補(bǔ)，根據(jù)已知解三角形△EGF可得答案．
解答：證明：（1）如圖，連接AD交α于G，連接GF
∵平面α∥AB
平面ADB∩α=GF
∴AB∥GF
又∵F為BD中點(diǎn)，
∴G為AD中點(diǎn)
又∵AC，AD相交，平面ACD∩α=EG，E為AC中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)
∴EG∥CD
又EG?α，CD?α
∴CD∥α；
解：（2）由（1）可得EG∥CD且EG=CD，GF∥AB且GF=AB
∴∠EGF與AB，CD所成的角相等或互補(bǔ)
∵AB=4，EF=，CD=2，
∴EG=1，
在△EGF中，由勾股定理，得∠EGF=90°
即AB與CD所成角為90°
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，異面直線及其所成的角，熟練掌握空間線面關(guān)系的判定及性質(zhì)，會(huì)用平移法構(gòu)造異面直線所成的角是解答的關(guān)鍵．