Question

已知AB、CD為異面直線a、b上的線段,E、F分別為AC、BD中點,過E、F作平面α∥AB.

(1)求證:CD∥α;

(2)若AB=4,EF=,CD=2,求AB與CD所成的角的大小.

Answer 1

(1)證明:連結AD交平面α于G,連結GF,

由AB∥α,平面ADB∩α=GF,AB平面ADB,得AB∥CF.

又∵F是BD的中點,∴G為AD的中點.

而由AC與AD確定的平面ACD∩α=EG,

E為AC的中點,G為AD的中點,得EG為△ACD中位線,

∴EG∥CD.又EGα,CDα,從而得CD∥α.

(2)解析:由(1)知EGCD,GFAB,得∠EGF為異面直線AB、CD所成的角或補角,

∵AB=4,CD=2,

∴GF=2,EG=1,EF=.在△EGF中,EF²=EG²+GF²-2EG·GFcos∠EGF,得cos∠EGF=-.

∴∠EGF=120°.從而異面直線AB、CD所成的角為60°.