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已知△ABC中，滿足
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，a，b，c分別是△ABC的三邊．
（1）試判定△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc對任意的a，b，c都成立，求實數k的取值范圍．
（1）∵
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
=
AB
•（
AC
-
BC
）+
CA
•
CB
=
AB
2+
CA
•
CB
，
∴
CA
•
CB
=0，∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4
)∈(1，
2
]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等價于k≤
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
 
對任意的a，b，c均成立．
∵右邊=
1
c3sinAcosA
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+
sinA+cosA+1
sinAcosA
．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，
2
])，則f(t)=t+
t+1
t2-1
2
=t-1+
2
t-1
+1，
∴當t=
2
時，f(t)min=3
2
+2，（11分） 故 k∈[ 3
2
+2 ，+∞)． （12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC中，滿足
AB
2=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，a，b，c分別是△ABC的三邊．
（1）試判定△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc對任意的a，b，c都成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC中，滿足B=60°，AB=3，AC=
7
，則BC=
 
．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河北省高三第十次模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知ΔABC中，滿足，a,b,c分別是ΔABC的三邊。

（1）試判定ΔABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍。

（2）若不等式對任意的a,b,c都成立，求實數k的取值范圍。

 

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科目：高中數學 來源：2010年江西上高二中、新余鋼鐵中學高三年級全真模擬數學（理科）試題 題型：解答題

已知ΔABC中，滿足，a,b,c分別是ΔABC的三邊。

   （1）試判定ΔABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍。

   （2）若不等式對任意的a,b,c都成立，求實數k的取值范圍。

 

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科目：高中數學 來源：2006-2007學年江蘇省南京市金陵中學高三數學綜合試卷（解析版） 題型：解答題

已知△ABC中，滿足，a，b，c分別是△ABC的三邊．
（1）試判定△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc對任意的a，b，c都成立，求實數k的取值范圍．

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