Question

已知△ABC中，滿足，a，b，c分別是△ABC的三邊．
（1）試判定△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc對任意的a，b，c都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得，故△ABC是以∠C為直角的直角三角形，sinA+sinB=sin（A+）∈．
（2）原不等式等價于 對任意的a，b，c均成立，右邊=，令，則，利用基本不等式求出f（t）的最小值，即可得到f（t）的范圍．
解答：解：（1）∵=•（）+=+，
∴，∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形．
∴．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等價于 
對任意的a，b，c均成立．
∵右邊=．（8分）
令，則，
∴當時，，（11分） 故 ． （12分）
點評：本題考查正弦定理，函數的恒成立問題，正弦函數的定義域和值域，兩個向量垂直的條件，是一道中檔題．