Question

已知△ABC中，滿足

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

，a，b，c分別是△ABC的三邊．
（1）試判定△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc對任意的a，b，c都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得

CA

•

CB

=0，故△ABC是以∠C為直角的直角三角形，sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

）∈(1 ， 

2

]．
（2）原不等式等價于k≤

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

 對任意的a，b，c均成立，右邊=

1

c3sinAcosA

[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，令t=sinA+cosA(t∈(1，

2

])，則f(t)=t+

t+1

t2-1 2

=t-1+

2

t-1

+1，利用基本不等式求出f（t）的最小值，即可得到f（t）的范圍．

解答：解：（1）∵

AB

2=

AB

•

AC

+

BA

•

BC

+

CA

•

CB

=

AB

•（

AC

-

BC

）+

CA

•

CB

=

AB

2+

CA

•

CB

，
∴

CA

•

CB

=0，∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)∈(1，

2

]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等價于k≤

a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)

abc

 
對任意的a，b，c均成立．
∵右邊=

1

c3sinAcosA

[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，

2

])，則f(t)=t+

t+1

t2-1 2

=t-1+

2

t-1

+1，
∴當t=

2

時，f(t)min=3

2

+2，（11分） 故 k∈[ 3

2

+2 ，+∞)． （12分）

點評：本題考查正弦定理，函數的恒成立問題，正弦函數的定義域和值域，兩個向量垂直的條件，是一道中檔題．