Question

12．傳統文化就是文明演化而匯集成的一種反映民族特質和風貌的民族文化，是民族歷史上各種思想文化、觀念形態的總體表征．教育部考試中心確定了2017年普通高考部分學科更注重傳統文化考核．某校為了了解高二年級中國數學傳統文化選修課的教學效果，進行了一次階段檢測，并從中隨機抽取80名同學的成績，然后就其成績分為A、B、C、D、E五個等級進行數據統計如下：

成績	人數
A	9
B	12
C	31
D	22
E	6

根據以上抽樣調查數據，視頻率為概率．
（1）若該校高二年級共有1000名學生，試估算該校高二年級學生獲得成績為B的人數；
（2）若等級A、B、C、D、E分別對應100分、80分、60分、40分、20分，學校要求“平均分達60分以上”為“教學達標”，請問該校高二年級此階段教學是否達標？
（3）為更深入了解教學情況，將成績等級為A、B的學生中，按分層抽樣抽取7人，再從中任意抽取3名，求抽到成績為A的人數X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （1）由于這80人中，有12名學生成績等級為B，所以可以估計該校學生獲得成績等級為B的概率為$\frac{12}{80}$，即可得出該校高二年級學生獲得成績為B的人數．
（2）由于這80名學生成績的平均分為：$\frac{1}{80}$（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．
（3）成績為A、B的同學分別有9人，12人，所以按分層抽樣抽取7人中成績為A的有3人，成績為B的有4人．由題意可得：P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，k=0，1，2，3．

解答 解：（1）由于這80人中，有12名學生成績等級為B，
所以可以估計該校學生獲得成績等級為B的概率為$\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$．…（2分）
則該校高二年級學生獲得成績為B的人數約有1000×$\frac{3}{20}$=150．…（3分）
（2）由于這80名學生成績的平均分為：
$\frac{1}{80}$（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…（4分）
且59＜60，因此該校高二年級此階段教學未達標…（6分）
（3）成績為A、B的同學分別有9人，12人，
所以按分層抽樣抽取7人中成績為A的有3人，成績為B的有4人…（7分）
則由題意可得：P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{7}^{3}}$，k=0，1，2，3．
∴P（X=0）=$\frac{4}{35}$，P（X=1）=$\frac{18}{35}$，P（X=2）=$\frac{12}{35}$，P（X=3）=$\frac{1}{35}$.10分）
所以EX=0+1×$\frac{18}{35}$+2×$\frac{12}{35}$+3×$\frac{1}{35}$=$\frac{9}{7}$.10分）

點評 本題考查了平均數、分層抽樣、超幾何分布列概率計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．