Question

閱讀：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
當且僅當，即時取到等號，
則的最小值為.
應用上述解法，求解下列問題：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函數的最小值；
（3）已知正數、、，，
求證：.

Answer 1

（1）9；（2）18；（3）證明見解析.

試題分析：本題關鍵是閱讀給定的材料，弄懂弄清給定材料提供的方法（“1”的代換），并加以運用.主要就是，展開后就可應用基本不等式求得最值.（1）；（2）雖然沒有已知的“1”，但觀察求值式子的分母，可以湊配出“1”：，因此有，展開后即可應用基本不等式；（3）觀察求證式的分母，結合已知有
，因此有
此式中關鍵是湊配出基本不等式所需要的兩項，如與合并相加利用基本不等式有 ，從而最終得出.
（1），
2分
而，
當且僅當時取到等號，則，即的最小值為.   5分
（2），      7分
而，，
當且僅當，即時取到等號，則，
所以函數的最小值為.        10分
（3）

當且僅當時取到等號，則.      16分