Question

【題目】已知梯形中，，，是的中點(diǎn).，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)（），沿將梯形翻折，使平面平面，如圖.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖所示：于，連接，證明，得到平面，得到證明.

（2）計(jì)算得到，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到答案.

（3）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算向量夾角得到答案.

（1）如圖所示：于，連接，

平面平面，，故平面，平面，

故，易知為正方形，故，，

故平面，平面，故.

（2），

故.

（3）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，

取，得到，故，

觀察知二面角的平面角為鈍角，故余弦值為.