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17.已知O是△ABC中的一點,$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,則△OAB與△OAC的面積之比為( 。
A.1:3B.1C.5:3D.3:5

分析 以O為原點,作單位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$,$\overrightarrow{O{B}^{'}}$,$\overrightarrow{O{C}^{'}}$,讓它們兩兩夾角為120°,在OA'上取A點,使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$,在OB'上取B點,使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$,在OC'上取C點,使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$,由此能求出△OAB與△OAC的面積之比.

解答 解:∵O是△ABC中的一點,$\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,
∴以O為原點,作單位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$,$\overrightarrow{O{B}^{'}}$,$\overrightarrow{O{C}^{'}}$,讓它們兩兩夾角為120°,
則$\overrightarrow{O{A}^{'}}+\overrightarrow{O{B}^{'}}+\overrightarrow{O{C}^{'}}$=$\overrightarrow{0}$,
在OA'上取A點,使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$,
在OB'上取B點,使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$,
在OC'上取C點,使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$,
所以$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,
因為S△ABC=$\frac{1}{2}absinC$,
所以△OAB與△OAC的面積之比為:
$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OAC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|×sin120°}{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OC}|×sin120°}$=$\frac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$=5:3.
故選:C.

點評 本題考查兩個三角形面積之比的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意等可能事件概率計算公式的合理運用.

練習冊系列答案
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