Question

17．已知O是△ABC中的一點，$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，則△OAB與△OAC的面積之比為（　�。�

• A． 1：3
• B． 1
• C． 5：3
• D． 3：5

Answer 1

分析 以O為原點，作單位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$，$\overrightarrow{O{B}^{'}}$，$\overrightarrow{O{C}^{'}}$，讓它們兩兩夾角為120°，在OA'上取A點，使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$，在OB'上取B點，使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$，在OC'上取C點，使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$，由此能求出△OAB與△OAC的面積之比．

解答 解：∵O是△ABC中的一點，$\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴以O為原點，作單位向量$\overrightarrow{O{A}^{'}}$，$\overrightarrow{O{B}^{'}}$，$\overrightarrow{O{C}^{'}}$，讓它們兩兩夾角為120°，
則$\overrightarrow{O{A}^{'}}+\overrightarrow{O{B}^{'}}+\overrightarrow{O{C}^{'}}$=$\overrightarrow{0}$，
在OA'上取A點，使$\overrightarrow{O{A}^{'}}$=$\overrightarrow{OA}$，
在OB'上取B點，使$\overrightarrow{O{B}^{'}}=3\overrightarrow{OB}$，
在OC'上取C點，使$\overrightarrow{O{C}^{'}}=5\overrightarrow{OC}$，
所以$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，
因為S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$，
所以△OAB與△OAC的面積之比為：
$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OAC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|×sin120°}{\frac{1}{2}×|\overrightarrow{OA}|×|\overrightarrow{OC}|×sin120°}$=$\frac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$=5：3．
故選：C．

點評 本題考查兩個三角形面積之比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．