Question

設數列{an}的首項不為零，前n項和為Sn，且對任意的r，tN*，都有．

（1）求數列{an}的通項公式（用a1表示）；

（2）設a1=1，b1=3，，求證：數列為等比數列；

（3）在（2）的條件下，求．

 

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據題中所給數列遞推關系的特征：，有且只有前n項和的比值，而題中又要求以a1表示，即可想到令，，得到，這樣問題即可轉化為由求的問題，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求的表達式，并已知a1=1，即可確定出的通項公式和前n項和公式，再運用條件，不難求出關系：，結合所證數列的特征和等比數列的定義，可得，即可得證; （3）由在（2）的條件下，即可得出的通項公式：化簡得，觀察其特點和所求目標，不難想到求出：，運用代數知識化簡得：，這樣就可聯想到數列求和中的裂項相消的方法，可得：．

試題解析：（1）因為，令，，則，得，即． 2分

當時，，且當時，此式也成立．

故數列{an}的通項公式為． 5分

（2）當時，由（1）知，Sn＝n2．

依題意，時，， 7分

于是，且，

故數列是首項為1，公比為2的等比數列． 10分

（3）由（2）得，所以． 12分

于是． 15分

所以． 16分

考點：1.遞推關系的處理;2.等比數列的定義;3.數列求和的應用