Question

【題目】某種水箱用的“浮球”是由兩個相同半球和一個圓柱筒組成，它的軸截面如圖所示，已知半球的直徑是，圓柱筒高，為增強該“浮球”的牢固性，給“浮球”內置一“雙蝶形”防壓卡，防壓卡由金屬材料桿,,,,,及焊接而成，其中,分別是圓柱上下底面的圓心，，，，均在“浮球”的內壁上，AC，BD通過“浮球”中心，且、均與圓柱的底面垂直．

（1）設與圓柱底面所成的角為，試用表示出防壓卡中四邊形的面積，并寫出的取值范圍；

（2）研究表明，四邊形的面積越大，“浮球”防壓性越強，求四邊形面積取最大值時，點到圓柱上底面的距離．

Answer 1

【答案】（1），其中的取值范圍是（2）四邊形面積取最大值時，點到圓柱上底面的距離為.

【解析】

（1）先證明，又因為，則四邊形是梯形，用與圓柱底面所成的角來表示梯形的上底、下底和高，根據梯形面積公式即可求得四邊形面積；

（２）由（1）得四邊形面積的解析式，對函數求導，判斷單調性，求出極值點，由此得出點到圓柱上底面的距離.

解:（1）因為分別是圓柱上、下底面的圓心,所以與圓柱的底面垂直；

因為與圓柱的底面垂直,所以；

在梯形中, , ,

設梯形的高；

所以梯形的面積為

其中的取值范圍是；

（2）由（1）得,

,

令,解得 或（不合題意,舍去）；

又,所以 ；

列表如下；

所以當時, 取得極大值,即是最大值,此時；

所以四邊形面積取最大值時,點到圓柱上底面的距離為．