Question

已知數列的首項前項和為，且

（I）證明數列是等比數列；

（II）令，求函數在點處的導數并比較 與的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知

∴時，

兩式相減，得，

即，從而，

當時

∴

又，∴，從而      

故總有、

又∵∴從而

即是以為首項，2為公比的等比數列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

從而        

由上   

                    （*）

當時，（*）式=0  ∴；

當時，（*）式=－12∴

當時，  

又

∴

即（*）

從而

  （或用數學歸納法：n≥3時，猜想   

      由于n-1>0，只要證明2ⁿ>2n+1。事實上，

      1*     當 n=3時，2³>2×3+1

      不等式成立，

      2*  設n=k時（k≥3），有2^k>2k+1

      則   2^k+1>2(2k+1)

             =4k+2

             =2(k+1)+1+(2k-1).

∵k≥3，∴2k-1>0.

從而  2^k+1>2(k+1)+1+(2k-1)

          >2(k+1)+1

即   n=k+1時，亦有  2ⁿ>2n+1.

綜上1*、2*知，2ⁿ>2n+1  對n≥3，n∈N* 都成立。

∴n≥3時，有

綜上    n=1時，

        n=2時，

        n≥3時，