Question

7．已知遞增數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足$2{S_n}=a_n^2+n$．
（I）求a_n；
（II）設${b_n}={a_{n+1}}•{2^n}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導出（a_n+a_n-1-1）（a_n-a_n-1-1）=0，從而得到數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，$2{S_1}=a_1^2+1$，解得a₁=1；
當n≥2時，由$2{S_n}=a_n^2+n$，得$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+n-1$，
兩式相減，得$2（{{S_n}-{S_{n-1}}}）=a_n^2-a_{n-1}^2+1$，
即${（{{a_n}-1}）^2}-a_{n-1}^2=0$，即（a_n+a_n-1-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵數列{a_n}為遞增數列，∴a_n+a_n-1-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是首項為1、公差為1的等差數列，故a_n=n，
（Ⅱ）${b_n}=（n+1）{2^n}$，${T_n}=2•{2^{1}}+3•{2^2}+…+（{n+1}）•{2^n}$，
T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-${T_n}=4+（{{2^2}+{2^3}+…+{2^n}}）-（{n+1}）•{2^{n+1}}$=$4+\frac{{4（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{n+1}）•{2^{n+1}}$=-n•2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}$，n∈N^*．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．