Question

在直線l：x+y-4=0上任取一點M，過點M且以雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點為焦點作橢圓．
（1）M點在何處時，所求橢圓長軸最短； 
（2）求長軸最短時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）設F₂關于l的對稱點為F₂'（m，n），連結F₁F₂'，由平面幾何知識可得F₁F₂'長就是橢圓長軸的最小值．再根據軸對稱的性質，聯解直線方程得到M坐標為(

5

2

，

3

2

)，即為滿足橢圓長軸最短的點M位置；
（2）由（1）的結論算出2a=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，再根據橢圓焦點坐標為（±2，O）得c=2，算出b²=6，即可得到所求橢圓方程．

解答：解：（1）雙曲線x2-

y2

3

=1中，a²=1且b²=3，
∴c²=a²+b²=4，
可得雙曲線x2-

y2

3

=1的兩焦點F₁（-2，0），F₂（2，0），
過F₂向l引垂直線l'：y=x-2，設F₂關于l的對稱點為F₂'（m，n），
則

m+2 2 + n 2 -4=0 n m-2 =-1

，解之得m=4且n=2，得F₂'（4，2）（如圖），
∴直線F₁F₂'的方程為

y-0

2-0

=

x+2

4+2

，化簡得x-3y+2=0．
由

x-3y+2=0 x+y-4=0.

，解得

x= 5 2 y= 3 2 .

，
∴M(

5

2

，

3

2

)即為滿足橢圓長軸最短的點；
（2）設所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由（1）得橢圓長軸最短時，2a=|MF₁|+|MF₂|=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，
∵焦點為（±2，O），得c=2，
∴b²=a²-c²=10-4=6，所求橢圓方程為

x2

10

+

y2

6

=1．

點評：本題求以定點為焦點，且長軸最短的橢圓的標準方程．著重考查了直線的位置關系、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．