Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點M（0，3），直線l：x+y-4=0，點N（x，y）是圓C：x²+y²-2x-1=0上的動點，MA⊥l，NB⊥l，垂足分別為A、B，則線段AB的最大值為

3

2

．

Answer 1

分析：由題意作出圖象，結合題意可知當直線為m時會使得要求的距離最大，然后把問題轉化為平行線AB與m間的距離公式即可求解．

解答：解：（如圖）由題意可得：圓C的方程為（x-1）²+y²=2
故圓C的圓心在（0，0）半徑為

2

，
直線MA⊥l，故直線MA的斜率為1，過點M（0，3）
故直線MA的方程為：y=x+3，
由圖象可知當動點N移動到直線為m是會使得AB最大，此時m與圓相切，
故可設m的方程為：y=x+b，故圓心到直線m的距離d=

|1+b|

2

=

2

，
解得d=-3，或d=-1（舍去）
故AB的距離為平行線MA與m的距離，由平行線間的距離公式可得AB=

|3-(-3)|

2

=3

2

故答案為：3

2

點評：本題為距離的最值得求解，涉及直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式以及平行線間的距離，屬中檔題．