Question

已知A、B、C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且幾何體O-ABC為正三棱錐，若A、B兩點的球面距離為π，則正三棱錐的側面與底面所成角的余弦值為

1

3

．

Answer 1

分析：欲求正三棱錐的側面與底面所成角的余弦值，先求出A、B兩點的球心角∠AOB，再利用題設條件求出幾何體O-ABC為正四面體，利用余弦定理即得．

解答：解：作出圖形，
∵A、B兩點的球面距離為π，
∴球心角∠AOB=

π

3

，
∵OA=OB=3，∴AB=3．
∵幾何體O-ABC為正三棱錐，∴幾何體O-ABC為正四面體，
設正四面體O-ABC的棱長為2，取AC中點D，連接OD，BD，
∵OA=OC=AC=AB=BC=2，
∴OD⊥AC，BD⊥AC，OD=BD=

3

，
∴∠ODB是正三棱錐的側面與底面所成角，
∴cos∠ODB=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題主要考查了點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．解題時要注意余弦定理的靈活運用．