Question

1．如圖，由半圓x²+y²=r²（y≤0，r＞0）和部分拋物線y=a（x²-1）（y≥0，a＞0）合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，曲線C與x軸有A、B兩個焦點，且經過點（2.3）．
（1）求a、r的值；
（2）設N（0，2），M為曲線C上的動點，求|MN|的最小值；
（3）過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P，A，Q三點，問是否存在實數k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由將點代入拋物線方程，即可求得a的值，求得A，B點坐標，代入圓方程，即可r的值；
（2）根據兩點之間的距離公式，采用分類討論，根據二次函數的性質，即可求得|MN|的最小值；
（3）將直線方程，代入拋物線及圓的方程求得Q及P點坐標，由k_BP=-k_BQ，即可求得k的值，因此存在實根k=1+$\sqrt{2}$，使得∠QBA=∠PBA．

解答 解：（1）將（2，3）代入y=a（x²-1），解得：a=1，由y=x²-1與x軸交于（±1，0），
則A（1，0），B（-1，0），
代入圓x²+y²=r²，解得：r=±1，由r＞0，則r=1，
∴a的值為1，r的值為1；
（2）設M（x₀，y₀），則丨MN丨²=x₀²+（y₀-2）²，
當y₀≤0，x₀²=1-y₀²，丨MN丨²=5-4y₀，
∴當y₀=0時，丨MN丨_min=$\sqrt{5}$，
當y≥0時，x₀²=1+y₀，丨MN丨²=x₀²+（y₀-2）²=1+y₀+（y₀-2）²=y₀²-3y₀+5=（y₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
當y₀=$\frac{3}{2}$時，丨MN丨_min=$\frac{\sqrt{11}}{2}$；
（3）由題意可知：PQ的方程y=k（x-1），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-kx+k-1=0，
則x=1，y=k-1，則Q（k-1，k²-2k），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+k²）x²-2k²x+k²-1=0，
解得：x=1或x=$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$，
則P點坐標為（$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$，-$\frac{2k}{{k}^{2}+1}$），
由∠QBA=∠PBA，
則k_BP=-k_BQ，即$\frac{-\frac{2k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}+1}$=-$\frac{{k}^{2}-2k}{k}$，
即k²-2k-1=0，解得：k=1±$\sqrt{2}$（負值舍去），
因此存在實根k=1+$\sqrt{2}$，使得∠QBA=∠PBA．

點評 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線及圓的位置關系，考查考查直線斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．