如圖，正三棱錐
的底面邊長為
，側(cè)棱長為
，
為棱
的中點．
（1）求異面直線
與
所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求該三棱錐的體積
．
(1)
；（2）
．
解析試題分析：（1）求異面直線所成的角，一般是按照定義作出這個角，即作平行線，把空間角化為平面角，通過解三角形來處理，而作平行線，一般都是過異面直線中一條上的某點作一條的平行線，如本題中有是
的中點，我們只要取
中點
，則就有
∥，
（或其補(bǔ)角）就是所求；（2）要求棱錐體積，就要求出底面積（本題底面是正三角形，面積易求）和高，正棱錐中我們知道棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成一個直角三角形，可在這個直角三角形中求出正棱錐的高．
試題解析：（1）取
中點，連結(jié)
、，因為∥，所以就是異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）． （2分）
在△
中，
，
， （1分）
所以
． （2分）
所以，異面直線與所成的角的大小為． （1分）
（2）作
平面
，則
是正△的中心， （1分）
連結(jié)
，
， （1分）
所以
， （1分）
所以，
． （2分）
考點：（1）異面直線所成的角；（2）棱錐的體積．
數(shù)學(xué)奧賽暑假天天練南京大學(xué)出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學(xué)出版社系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了并流入杯中，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由。（冰、水的體積差異忽略不計）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，PA
平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=
，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
(I)求三棱錐E—PAD的體積；
(II)試問當(dāng)點E在BC的何處時，有EF//平面PAC；
(1lI)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PEAF．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知半徑為
的球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體（即正方體的頂點都在球面上）.
（1）求此球的體積；
（2）求此球的內(nèi)接正方體的體積；
（3）求此球的表面積與其內(nèi)接正方體的全面積之比.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖是某三棱柱被削去一個底面后的直觀圖、側(cè)(左)視圖與俯視圖．已知CF＝2AD，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖是直角梯形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．求該幾何體的體積．
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中，側(cè)面
平面
，
，
為
中點.
；
平面
；
，
，求三棱錐
的體積.
中，AC⊥BC，AB⊥
，
，D為AB的中點，且CD⊥
。
⊥平面ABC；
的體積。
中，側(cè)棱長均為
，底邊
，
，
，
、
分別為
、
的中點.
的平面角.
中，
分別是上、下底面的中心．已知
，
．