Question

在三棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為，底邊，，，、分別為、的中點(diǎn).

（1）求三棱錐的體積；
（2）求二面角的平面角.

Answer 1

（1）三棱錐的體積為；（2）二面角的平面角的大小為.

解析試題分析：（1）由于三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，可以得到點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)為的外心，而由于的三條底邊滿足勾股定理，可知為直角三角形的斜邊，從而可以知道的中點(diǎn)即為直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出，并且計(jì)算出直角三角形的面積，最后利用錐體的體積公式計(jì)算此三棱錐的體積；（2）解法一是在（1）中的基礎(chǔ)上，利用平面，得到平面平面，然后在平面內(nèi)作于點(diǎn)，利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理得到平面，從而得到，再?gòu)狞c(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，并連接，利用三垂線法得到為二面角的平面角，最后在直角三角形中計(jì)算的大小；解法二是以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角
的平面角的大小.
試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，
易得：，，
,
.
.
又 平面，

（2）法一：作⊥，⊥于點(diǎn)，連接
平面,平面,

又 平面.
∵，  ∴
又 平面，
∵，∴，
∴