Question

已知如圖，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）異面直線AB、CD所成的角為α，異面直線AC、BD所成的角為β，求證：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AO⊥面BCD，建立空間直角坐標系，確定向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求得結論；
（Ⅱ）求出平面ABC、平面ACD一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-AC-D的余弦值的絕對值．
解答：（Ⅰ）證明：設BD的中點為O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．
以過O點垂直于BD的直線為x軸，以直線BD為y軸，以直線OA為z，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設．
∴，
∴，，
∴，．
∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分
（Ⅱ）解：設分別是平面ABC、平面ACD一個法向量，
∴，即，
∴，不妨取，得．
同理可求得，
∴，
所以二面角B-AC-D的余弦值的絕對值為．…12分．
點評：本題考查空間角，考查向量知識的運用，確定平面的法向量，正確利用公式是關鍵．