Question

已知曲線y=

1

x

（1）求曲線在點P（1，1）處的切線方程　　
（2）求曲線過點P（1，0）處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）設出曲線過點P切線方程的切點坐標，把切點的橫坐標代入到（1）求出的導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標代入切線方程即可得到關于切點橫坐標的方程，求出方程的解即可得到切點橫坐標的值，分別代入所設的切線方程即可；

解答：解：（1）∵P（1，1）在曲線曲線y=

1

x

，且y'=-

1

x2

∴在點P（1，1）處的切線的斜率k=y'|_x=1=-1；
∴曲線在點P（1，1）處的切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）設曲線線y=

1

x

，過點P（1，0）的切線相切于點A（x₀，

1

x0

），
則切線的斜率 k=-

1

x 2 0

，
∴切線方程為y-

1

x0

═-

1

x 2 0

（x-x₀），
∵點P（1，0）在切線上，
∴-

1

x0

═-

1

x 2 0

（1-x₀），
解得x₀=

1

2

故所求的切線方程為4x+y-4=0

點評：此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決．