Question

已知曲線y=

1

x

和y=x²
（1）求它們的交點(diǎn)；
（2）分別求它們?cè)诮稽c(diǎn)處的切線方程；
（3）求兩條切線與x軸所圍成的三角形面積．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程可得曲線y=

1

x

和y=x²在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在（1，1）處的切線的斜率，從而可求切線方程；
（3）確定兩條切線與x軸所圍成的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得兩條切線與x軸所圍成的三角形面積．

解答：解：（1）聯(lián)立方程可得

y= 1 x y=x2

，解得x=1，y=1
∴曲線y=

1

x

和y=x²在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）；…（2分）
（2）y=

1

x

的導(dǎo)函數(shù)為y′=-

1

x2

，∴在（1，1）處的切線的斜率為-1，
∴切線方程為y-1=-（x-1），即y=-x+2
y=x²的導(dǎo)函數(shù)為y=2x，∴在（1，1）處的切線的斜率為2，
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1，…（8分）
（3）兩條切線與x軸所圍成的三角形如圖所示，兩條切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，0），（

1

2

，0），兩條切線交點(diǎn)是（1，1），
∴兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是

3

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．