Question

19．某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修．每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為$\frac{1}{3}$．
（1）問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%？
（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資．每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人．求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

分析 （1）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為$\frac{1}{3}$；
4臺機器相當于4次獨立重復(fù)試驗，設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，$X～B（{4，\frac{1}{3}}）$，求出對應(yīng)概率值，
寫出分布列，計算“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”的概率不少于90%的對應(yīng)工人數(shù)；
（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，Y的所有可能取值為18，13，8，計算對應(yīng)的概率值，求出分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）一臺機器運行是否出現(xiàn)故障可看作一次實驗，
在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障設(shè)為事件A，則事件A的概率為$\frac{1}{3}$；
該廠有4臺機器就相當于4次獨立重復(fù)試驗，
可設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則$X～B（{4，\frac{1}{3}}）$，
$P（{X=0}）=C_4^0{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{16}{81}$，
$P（{X=1}）=C_4^1•\frac{1}{3}•{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{32}{81}$，
$P（{X=2}）=C_4^2•{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}$，
$P（{X=3}）=C_4^3•{（{\frac{1}{3}}）^3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$，
則X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

設(shè)該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修”為X≤n，
則X=0，X=1，X=2，…，X=n，這n+1個互斥事件的和事件，則

n	0	1	2	3	4
P（X≤n）	$\frac{16}{81}$	$\frac{48}{81}$	$\frac{72}{81}$	$\frac{80}{81}$	1

∵$\frac{72}{81}≤90%≤\frac{80}{81}$，
∴至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不少于90%；
（2）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，
P（Y=18）=P（X=0）$+P（{X=1}）+P（{X=2}）=\frac{72}{81}$，
$P（{Y=13}）=P（{X=3}）=\frac{8}{81}$，
$P（{Y=8}）=P（{X=4}）=\frac{1}{81}$；
則Y的分布列為：

Y	18	13	8
P	$\frac{72}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

則$E（Y）=18×\frac{72}{81}+13×\frac{8}{81}+8×\frac{1}{81}=\frac{1408}{81}$；
故該廠獲利的均值為$\frac{1408}{81}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．