Question

(1)已知直線l：y=x+b與曲線C：y=有兩個不同的公共點,求實數b的取值范圍；

(2)若關于x的不等式＞x+b解集為R,求實數b的取值范圍.

Answer 1

解:(1)如圖3(數形結合),方程y=x+b表示斜率為1,在y軸上截距為b的直線l；

圖3

方程y=表示單位圓在x軸上及其上方的半圓,

當直線過B點時,它與半圓交于兩點,此時b=1,直線記為l₁；

當直線與半圓相切時,b=,直線記為l₂.

直線l要與半圓有兩個不同的公共點,必須滿足l在l₁與l₂之間(包括l₁但不包括l₂),

所以1≤b＜,即所求的b的取值范圍是［1,).

(2)不等式＞x+b恒成立,即半圓y=在直線y=x+b上方,

當直線l過點(1,0)時,b=-1,所以所求的b的取值范圍是(-∞,-1).

點評:利用數形結合解題,有時非常方便直觀.