Question

（2007•浦東新區二模）已知直線l：y=-x+b與拋物線y²=4x相交于A、B兩點，|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）求拋物線上橫坐標為1的點D與點A、B構成的△DAB的面積；
（3）設P（x，y）是拋物線上的動點，試用x或y來討論△PAB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系，再利用弦長公式即可得出；
（2）把x=1代入拋物線方程即可得出點D的坐標，再利用點到直線的距離公式即可得出點D到直線l的距離，再利用三角形的面積計算公式即可得出；
（3）設與直線y=-x+1平行且距離為

2

的直線為y=-x+t，得t=-1或3，求出y=-x-1與 y ²=4 x的交點，y=-x+3與y ²=4 x的交點，y=-x+1與y²=4x的交點．
進而得出面積的取值范圍．

解答：解：（1）把y=-x+b代入y²=4x得x²-2（b+2）x+b²=0．
令△＞0，得b＞-1．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8，
∴

b+1

=

2

，b=1，
∴直線的方程為y=-x+1．
（2）設D （1，y₀），代入y ²=4x，得y₀=±2．
因此得到D點坐標：D （1，2 ） 或D′（1，-2）
點D（D′）到直線y=-x+1的距離d=

|1±2-1|

2

=

2

．
∴△DAB的面積為4

2

．
（3）設與直線y=-x+1平行且距離為

2

的直線為y=-x+t，得t=-1或3，
y=-x-1與 y ²=4 x的交點僅有一個為 （1，-2），
y=-x+3與y ²=4 x的交點為 （1，2），（9，-6）．
y=-x+1與y²=4x的交點為(3-2

2

，-2+2

2

)，(3+2

2

，-2-2

2

)
∴當y_P∈{-2，2，-6}時，S=4

2

．
當yP∈(-6，-2-2

2

)∪(-2-2

2

，-2)∪(-2，-2+2

2

)∪(-2+2

2

，2)時，S∈(0，4

2

)．
當y_P∈（-∞，-6）∪（2，+∞）時，S∈(4

2

，+∞)．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．