Question

已知直線l：y=kx+b交拋物線C：y=

1

2

x2于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，交y軸于點F，若x₂＞0，且x₁x₂=-1，記

AP

=t

PB

．
（1）求證：直線l過拋物線的焦點；
（2）當t=

3

2

時，求以原點為中心，以P為一個焦點，且過點B的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）先將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關系即可求得bP值，從而解決問題．
（2）由

AP

=t

PB

，得x₁=-tx₂，所以求出B(

6

3

，

1

3

)．再設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，利用題中條件列出關于a，b的方程，求出a，b，最后寫出橢圓方程即可．

解答：解：（1）由

y=kx+b y= 1 2 x2

?x2-2kx-2b=0，則x₁x₂=-2b∵x₁x₂=-1，b=

1

2

，即直線l與y軸交于點P(0，

1

2

)，
而拋物線y=

1

2

x2的焦點坐標是(0，

1

2

)，所以直線過拋物線的焦點．
（2）∵

AP

=(-x1，

1

2

-y1)，

PB

=(x2，y2-

1

2

)（3），
由

AP

=t

PB

，得x₁=-tx₂

x1=- 3 2 x2 x1x2=-1 x2＞0

?x22=

2

3

，y2=

1

3

，所以B(

6

3

，

1

3

)．
設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，c=

1

2

，且過B(

6

3

，

1

3

)
得

1 9a2 + 2 3b2 =1 a2-b2= 1 4

?a2=1，b2=

3

4

，所以橢圓方程為y2+

4x2

3

=1

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、向量的坐標表示、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查主程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．