Question

10．已知數列{a_n}的前項n和為S_n，且3S_n=4a_n-4．又數列{b_n}滿足b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，求使得不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立的實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用再寫一式，兩式相減的方法求數列{a_n}的通項公式、利用數列{b_n}滿足b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求出{b_n}的通項公式；
（2）若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$，裂項求和，不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，即可實數k的取值范圍．

解答 解：（1）由3S_n=4a_n-4可得a₁=4，
∵3S_n=4a_n-4，∴3S_n-1=4a_n-1-4，∴3S_n-3S_n-1=4a_n-4-（4a_n-1-4），
∴3a_n=4a_n-4a_n-1，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=4$．
∴數列{a_n}是首項為a₁=4，公比為4的等比數列，∴${a_n}={4^n}={2^{2n}}$．
又b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=2+4+…+2（n-1）+2n=n（n+1），
∴b_n=n（n+1）．
（2）${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
不等式$k\frac{{n•{a_n}}}{n+1}≥（2n-3）{T_n}$恒成立，即k≥$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$恒成立，
設d_n=$\frac{2n-3}{{4}^{n}}$，則d_n+1-d_n=$\frac{11-6n}{{4}^{n-1}}$，
∴當n≥2時，數列{d_n}單調遞減，當1≤n＜2時，數列{d_n}單調遞增；
即d₁＜d₂＞d₃＞d₄＞…，
∴數列最大項為${d_2}=\frac{1}{16}$，∴$k≥\frac{1}{16}$．

點評 本題考查數列的圖象，考查裂項法求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．