Question

【題目】已知從有限個平面向量構成的集合中任取三個元素，其中總存在兩個元素，使得.試求中元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】7

【解析】

所求中元素個數的最大值為7.

設點、、是平面上任意三點，考慮7元集合，它顯然滿足條件.下面證明：中的元素不能多于7個.

當中的元素全部共線時，將所有元素的起點移至同一點，作一條與所有元素平行的直線并作出中所有元素在直線上的投影，于是，中的所有向量均對應以中元素的共同起點在上的投影為原點，直線的任意取定一個方向為正方向的數軸上的坐標.從而，問題可轉化為求與原題對應的數集問題（由二維轉化為一維）.

接下來證明：該數集中至多有7個元素.

首先證明：該數集中最多有3個正數.假設可能有不少于4個的元素是正數，其中，最大的4個數分別為、、、，且.

事實上，，所以，和數.而大于的元素只有一個，卻有，于是，在集合或中，至少有一個集合的任意兩個元素之和不在中.這與已知矛盾，故該數集中最多有3個正數.同理，該數集中最多有3個負數.加上一個0，從而，數集中至多有7個元素.

當中的元素不全共線時，將所有元素的起點移至同一點，由的有限性知可作出平面直角坐標系，使得中的元素均不與坐標軸平行.

下面證明：上半平面內至多有3個元素.

首先證明：上半平面的所有元素全不共線.假設上半平面內存在中的元素與共線，則可取與和夾角最小的元素.考慮集合，由的取法，知和均不在中（兩向量的和向量在這兩個向量之間）.于是，中存在，使得，從而，與、共線.考慮集合，類似上面的討論，知中存在與、共線.如此討論下去，知中存在無窮多個元素與、共線，矛盾.故上半平面的所有元素全不共線.

其次證明：上半平面內至多有3個元素.假設在上半平面內有不少于4個元素，按逆時針方向順次取其中4個相鄰元素、、、.考慮集合，則有；考慮集合，則有.從而，，即.這與、同在上半平面內矛盾，故上半平面內至多有3個元素.同理，下半平面內至多有3個元素.加上零向量，從而，集合中至多有7個元素.

綜上所述，集合中元素個數的最大值為7.