Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離為．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ過(guò)橢圓右焦點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)AE，AF分別交直線(xiàn)于點(diǎn)M，N，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為P，記直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）根據(jù)離心率為，可得之間的關(guān)系，再右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，就可求出的值，從而求出的值（2）解決直線(xiàn)和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，， 2分

所以，，所求橢圓方程為． 4分

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)， 5分

將直線(xiàn)方程代入橢圓，

整理得：6分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線(xiàn)和橢圓都相交，恒成立，

且7分

直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：

令，得點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)， 9分

直線(xiàn)的斜率為

， 11分

將代入上式得：

，

所以為定值． 13