Question

已知點，的坐標分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上的動點，直線，分別交直線于點，線段的中點為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，記直線與的交點為，試探究點與曲線的位置關(guān)系，并說明理由.

 

Answer 1

（1）()；（2）；（3）點在曲線上.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、點斜式求直線方程、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，設出P點坐標，利用斜率公式，求出直線AP、BP的斜率，計算得到曲線C的方程；第二問，設出Q點坐標，利用點斜式寫出直線AQ的方程，它與x=4交于M，則聯(lián)立得到M點坐標，同理得到N點坐標，利用中點坐標公式得到后，將Q點橫坐標的范圍代入直接得到所求范圍；第三問，結(jié)合第二問得到直線AN和直線BM的方程，令2個方程聯(lián)立，得到T點坐標，通過計算知T點坐標符合曲線C的方程，所以點T在曲線C上.

(1)設動點，則(且)

所以曲線的方程為(). 4分

（2）法一：設，則直線的方程為，令，則得，直線的方程為，

令，則得， 6分

∵ =

∴，∴ 8分

故

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為 10分

法二：設直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，

所以直線的方程為，令，則得，

直線的方程為，令，則得，

∴，

∴ 8分

故

∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為 10分

（3）法一：由（2）得，，

則直線的方程為，直線的方程為， 12分

由，解得即 12分

∴

∴ 點在曲線上. 14分

法二：由（2）得，

∴ ， 12分

∴

∴ 點在曲線上. 14分

 

法三：由（2）得，，，

∴ ， 12分

∴ 　∴ 點在曲線上. 14分

考點：橢圓的標準方程、點斜式求直線方程、中點坐標公式.