Question

（理）二項式（x³+

1

x2

）ⁿ的展開式中，只有第6項的系數最大，則該展開式中的常數項為______；
（文）已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是______．

Answer 1

（1）由題意，n=10，Tr+1=

C

r10

×(x3) 10-r×(

1

x2

)r=

C

r10

x 30-5r
令30-5r=0，∴r=6
∴展開式中的常數項為T₇=C₁₀⁶=210
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1∴xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

又 lgx+lgy=lg(xy)≤lg(

x+y

2

)2=lg

1

4

=-2lg2，
故答案為：210；-2lg2．