Question

（理）二項式（x³+

1

x2

）ⁿ的展開式中，只有第6項的系數最大，則該展開式中的常數項為

210

；
（文）已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是

-2lg2

．

Answer 1

分析：（1）根據展開式中，只有第6項的系數最大，可求n=10，寫出其通項公式，令x的指數為0，即可求出展開式中的常數項；（2）由已知條件，可根據以得到 xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

，從而得出lg（xy）的最大值

解答：解：（1）由題意，n=10，Tr+1=

C

r 10

×(x3) 10-r×(

1

x2

)r=

C

r 10

x 30-5r
令30-5r=0，∴r=6
∴展開式中的常數項為T₇=C₁₀⁶=210
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1∴xy≤(

x+y

2

)2=

1

4

又 lgx+lgy=lg(xy)≤lg(

x+y

2

)2=lg

1

4

=-2lg2，
故答案為：210；-2lg2．

點評：本題主要考查二項式定理的運用，考查基本不等式，解題的關鍵是寫出展開式的通項，對對數式合理變形．