Question

已知橢圓E：，設(shè)該橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F（-c，0）的最大距離為d₁，到右頂點(diǎn)A（a，0）的最大距離為d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)該橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)B（0，b）的最大距離為d₃，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)，知，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），則點(diǎn)P到上頂點(diǎn)B（0，b）的距離為|PB|，，先構(gòu)造二次函數(shù)f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），再由分類討論思想能求出橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)的最大距離．
解答：（Ⅰ）解：由題，知，
∴橢圓E的方程為；…（5分）
（Ⅱ）證明：橢圓上任意一點(diǎn)P（acosθ，bsinθ），
則點(diǎn)P到上頂點(diǎn)B（0，b）的距離為|PB|，，
構(gòu)造二次函數(shù)f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），
其對稱軸方程為．
1°當(dāng)，
即b²＞c²時，f（t）≤f（-1）=4b²，
此時，
而，從而；
2°當(dāng)，即b²≤c²時，
，
此時；
綜上所述橢圓上任意一點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離都小于等于，
所以橢圓上的點(diǎn)到上頂點(diǎn)的最大距離．…（15分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時要熟練掌握橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．