Question

3．對于各數互不相等的正整數數組（i₁，i₂，i₃，…，i_n）（n是不小于3的正整數），若對任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，當p＜q時，有i_p＞i_q，則稱i_p，i_q是該數組的一個“逆序”，一個數組中所有“逆序”的個數稱為該數組的“逆序”數，如數組（2，3，1）的逆序數等于2．
（1）則數組（4，2，3，1）的逆序數等于5．
（2）若數組（i₁，i₂，i₃，…，i_n）的逆序數為n，則數組（i_n，i_n-1，…，i₁）的逆序數為$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．

Answer 1

分析 本題可以由逆序數的定義出發，用窮舉的方法得到第一個空格的答案，然后用排列組合的方法得出第二個空格的答案．

解答 解：（1）∵數組（4，2，3，1）的逆序分別為4，2；4，3；4，1；2，1；3，1；
∴數組（4，2，3，1）的逆序數為5；
（2）∵若數組（i₁，i₂，i₃，…，i_n）中的逆序數為n，
∴這個數組中可以組成${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$實數對；
∴數組（i_n，i_n-1，…，i₁）的逆序數為：$\frac{n（n-1）}{2}$-n=$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．
故答案為5；$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．

點評 本題考查一個新定義問題，解題的關鍵是讀懂題目條件中所給的條件，并且能夠利用條件來解決問題，本題考查排列組合數的應用，考查列舉法，是一個非常新穎的問題，是一個考查學生理解能力的題目．